I
I
.
e
l
ő
a
d
á
s
K
o
n
f
i
d
e
n
c
i
a
-
i
n
t
e
r
v
a
l
l
u
m
o
k
Konfidencia-intervallumok
Ha az alapsokaság egy ismeretlen paraméterére n elemű minta alapjánbecslést készítünk, akkor a valódi értéke csak közelítőleg lesz egyenlő abecsléssel ( pontbecslés ).
Ha ismerjük, hogy a becsült milyen eloszlású, akkor meg tudunk adni olyanintervallumot, amely nagy valószínűséggel tartalmazza a valódi -t.
Definíció. Az intervallumot az paraméter becslésére szolgáló
(1 - )100 % megbízhatósági szintű konfidencia intervallumnak nevezzük, ha
.
Itt az 1 - magas 1-hez közeli valószínűséget jelent.
Az meghatározásával intervallumbecslést adtunk -ra.
Konfidencia-intervallumok
Tétel.Tegyük fel, hogy a normális eloszlású alapsokaság szórását ismerjük. Azalapsokaság m várható érétkét az n elemű minta átlagával becsüljük. Ekkor azm-re vonatkozó 1 - szintű konfidencia intervallum:
, azaz
, ahol
N( 0, 1 ) eloszlású valószínűségi változó, amelyet a „t” eloszlás táblázatból ismeghatározhatunk. ( , %)
Példa:
Kekszcsomagokat mérve a következőket kapjuk : 397,3; 399,6; 401,0; 392,9; 396,8;400,0; 397,6; 392,1; 400,8; 400,6. Feltételezve , hogy a csomagokban találhatókeksz tömege normális eloszlású σ = 10 szórással, határozza meg 95 %-osszignifikancia szinten a konfidencia intervallumot!
Konfidencia-intervallumok
Tétel.Tegyük fel, hogy ismert egy normális eloszlású alapsokaságból vett n eleműminta átlaga és korrigált szórása. Ekkor az m-re vonatkozó 1 - valószínűségű konfidencia intervallum:
, azaz
, ahol
Student eloszlású valószínűségi változó, amely nem csak az -tól, hanem aminta elemszámától ( pontosabban az f = n - 1 szabadsági foktól ) is függ. Adott nés esetén a értékét a Student-féle t eloszlás táblázatából kaphatjuk meg.
Példa:
Villanyégők élettartamát vizsgálva, azt normális eloszlásúnak találták. n = 15 égőélettartamát vizsgálva az élettartam átlaga órának, tapasztalati korrigáltszórásnak óra adódott. 95%-os biztonsági szinten milyen konfidencia-intervallumba (megbízhatósági intervallumba) esik az egész sokaság várhatóértéke?
S
t
a
t
i
s
z
t
i
k
a
i
p
r
ó
b
á
k
Statisztikai próbák
Definíció. Egy vagy több valószínűség eloszlásra vonatkozó feltevést statisztikaihipotézisnek nevezünk.
Definíció. Az olyan eljárást, amely alapján egy statisztikai hipotézisről döntünk,statisztikai próbának nevezzük.
A statisztikai mintából a teljes statisztikai sokaságra különböző feltevéseket ( u. n. nullhipotéziseket ) tehetünk. Például
- feltehető-e a mintabeli becslés alapján, hogy a teljes sokaság egy paraméterevalamely értéke,
-feltehető-e a mintabeli sűrűségfüggvény megszerkesztése alapján, hogy a teljessokaság adott eloszlású, ...
Ha a feltételezett hipotézis fennáll, akkor keresnünk kell olyan statisztikai függvényt( próbastatisztikát ), amelynek az eloszlását ismerjük. Így az ismert eloszlásfüggvényalapján meghatározható egy olyan intervallum ( elfogadási tartomány ),amelybe (a hipotézis fennállása esetén ) a próbastatisztika nagy valószínűséggelbeleesik, s amelyen kívüli intervallumba ( kritikus tartomány ) a statisztika csak igenkis valószínűséggel esik.
Statisztikai próbák
Ezek alapján a statisztikai próba:
- Ha a próbastatisztika mintából kapott értéke benne van az elfogadásitartományban, célszerű a hipotézis fennállását elfogadni,
-ha a próbastatisztika mintából kapott értéke az elfogadási tartományon kívülreesik ( azaz a kritikus értékeken túl van ), célszerű a hipotézist elvetni.
Kétféle módon tévedhetünk:
-az igaz hipotézist elvetjük ( elsőfajú hiba )
-a hamis hipotézist elfogadjuk ( másodfajú hiba )
A döntési lehetőségek tehát:
Egymintás „t” próba
Tétel.Ha egy normális eloszlású alapsokaságból vett n elemű minta átlagát és tapasztalati korrigált szórását ismerjük, ( de a teljes sokaság elméleti szórását nem ) akkor a teljes sokaság várható értékére vonatkozóhipotézisről az egymintás t-próbával a következőképpen döntünk.
Ha , akkor az hipotézist elfogadjuk;
egyébként elvetjük.
A t Student eloszlású valószínűségi változó, így a kritikus értékét a Student-eloszlás táblázatából határozhatjuk meg, mégpedig az f = n - 1 szabadsági foknakmegfelelő sorból és az általunk választott 1 - valószínűségi szintnek megfelelőoszlopból.
Bizonyítás. Nincs.
Egymintás „t” próba
Példa.
Árammérőket úgy igazítanak be, hogy a mérőket együtt működtetik egy standardárammérővel. Beállítás után n = 10 árammérőt választottunk ki, és a szóban forgóárammérő egy jellemző paraméterét mértük. A standard árammérő paramétere 1.
A mérési eredményeink:
0,895; 1,003; 0,996; 0,994; 1,002; 0,987; 0.993; 0,991; 1,004; 0,985.
Kiszámítva a minta átlagát, 95% valószínűséggel véletlen az elméleti várhatóértéktől (m = 1) való eltérés, vagy szisztematikus?
Megoldás:; ; ; ;
Mivel , ezért , azaz az eltérés nem szignifikáns!
Egymintás „u” próba
Tétel.Tekintsünk egy normális eloszlású alapsokaságot, amelynek szórása . Asokaságból vett n elemű minta átlaga .
Az hipotézist elfogadjuk, vagy elvetjük adott (1 - ) valószínűséggel,aszerint, hogy az
, vagy ,
ahol -tól függő állandó.
A kritikus értéket a normális eloszlás táblázatából, vagy a Student-féle t-eloszlás táblázatából ( ) kaphatjuk meg.
Bizonyítás. Nincs.
Egymintás „u” próba
Példa.
Egy automata daraboló gép mm hosszú darabokat vág mm-esszórással. A hosszúság, mint valószínűségi változó normális eloszlású.Kiválasztunk véletlenszerűen n = 16 elemű mintát. A mintából kapott méretek:1193, 1198, 1203, 1191, 1195, 1196, 1199, 1191, 1201, 1196, 1193, 1198,1204, 1196, 1198, 1200.
Elfogadható-e, hogy az eltérés nem jelentős ( nem szignifikáns ), vagyis az egészsokaságban a várható érték ?
Megoldás. ; ; ; ;
Mivel , ezért , azaz az eltérés szignifikáns.
Kétmintás F- és t-próba
Ha két normális eloszlású alapsokaságból vett minta korrigált szórásait,valamint átlagait ismerjük, a következő kérdések merülhetnek fel:
-Bár a minta korrigált szórásai nem egyeznek meg, , feltehető-e mégis,hogy a két teljes alapsokaságban a szórások megegyeznek, ?
-Az ellenére feltételezhető-e mégis, hogy a teljes sokaságokban a várhatóérték megegyezik, ?
Ezekre a kérdésekre ad választ a következő két tétel.
Kétmintás F- és t-próba
Tétel.F-próba
Két normális eloszlású alapsokaságból vett minta korrigált szórásai ,átlagai .
Ha a nagyobb empirikus szórásnégyzetet osztjuk a kisebb empirikusszórásnégyzettel, akkor az így kapott
esetén a hipotézist elfogadjuk, különben elvetjük.
A kritikus értéket az F-eloszlás táblázatából olvashatjuk ki, az ott leírt módon.
A várható értékek egyezésének vizsgálatára csak az elméleti szórások egyezéseesetén használhatjuk a következő próbát.
Kétmintás F- és t-próba
Tétel.Kétmintás t-próba
Az null hipotézis vizsgálatára tekintsük a következő próbastatisztikát:
Ha , akkor az feltevést elfogadjuk, azaz eltérése nemszignifikáns, ellenkező esetben az feltevést elvetjük.
Itt a kritikus értéket a Student-eloszlás táblázatában keressük, az szabadsági foknak megfelelő sorból, és az 1 - valószínűégiszinthez tartozó oszlopból.
Kétmintás F- és t-próba
1. Példa:
Víz keménységi fokának megállapításához 2 különböző vizsgálatot végeztek. Azegyikben 11, a másikban 15 mintát vettek. Az eredmény a kalcium karbonáttartalom megadása volt, melynek varianciája az első esetben 94,6, a másodikméréssorozatnál pedig 36,8 volt. Az eltérés vajon szignifikáns-e?
Megoldás.variancia = szórásnégyzet ( )
Mivel az , ezért
Mivel .
Kétmintás F- és t-próba
2. Példa.
Két gépsoron töltik a tejet zacskókba. Az egy óra alatt csomagolt mennyiségből7 – 7- elemű mintát vettünk véletlenszerűen. A tej mennyiségét mértük a zacskókban. Akapott eredményeket mutatja a következő táblázat (mennyiség literben):
Döntsük el, hogy nagy valószínűséggel (95%) van-e különbség a két gépsoroncsomagolt zacskós tej zacskónkénti mennyisége között?
Megoldás.
Mivel , ezért az egész sokaságban a két szórás egyezése elfogadható.
Illeszkedésvizsgálat –próbával
Azt, hogy az adott minta alapján az alapsokaság tekinthető-e ismert eloszlásúnak(normális, exponenciális stb. eloszlásúnak ), a tapasztalati és az elméletisűrűségfüggvény összehasonlításával tudjuk eldönteni.
A gyakorlati és az elméleti f sűrűségfüggvények illeszkedésére, vagyis annakeldöntésére, hogy tekinthető-e egy minta adott eloszlásúnak, szolgál az alábbi próba.
Illeszkedésvizsgálat –próbávaldiszkrét esetben
Tétel.Egy n elemű minta alapján feltehető-e, hogy az egy adotteloszlásfüggvénnyel rendelkező eloszlásból származik?
Null hipotézis: : ismeretlen ?
Tekintsük a következő statisztikai függvényt:
, ahol
- az n megfigyelésből az érték előfordulási gyakorisága,
- az érték bekövetkezési valószínűsége a feltételezett eloszlás alapján,
r - a megfigyelt valószínűségi változó értékeinek száma.
Csak akkor alkalmazható, ha minden i esetén !
Amennyiben , akkor a null hipotézist ( az eloszlás típusára tett feltevést)elfogadjuk, egyébként elvetjük.
értékét táblázatból határozhatjuk meg:
Illeszkedésvizsgálat –próbávaldiszkrét esetben
1. Példa:
Szabályos-e az a dobókocka, amellyel 600 dobást végezve a következőeredményeket kaptuk?
Döntsünk 95% valószínűséggel!
2. Példa:
95% valószínűséggel származhatnak-e az alábbi adatok binomiális eloszlásból,
ahol ? ( x az esemény, f a gyakoriság )
