Osztóértékek, eloszlások
Készítette:
Horváthné Dr. Kovács BernadettHorváthné Dr. Kovács Bernadett
Dr. Nagy Mónika ZitaDr. Nagy Mónika Zita
KE – GTK- Regionális Tudományok és Statisztika Tanszék
2015.
A statisztikai sokaságot alkotó elemek az elemzések tárgyát képezőmegfigyelések. Megfigyeléseinknek számos fontos alapvető jellemzőjevan – az azonosított tulajdonságukon (ismérvtípuson) kívül.
Adataink (megfigyelt értékek, változók): xi, ahol i=1…n (természetes szám)
Pl. szőke (hajszín); 3. (helyezés); 120000 Ft (jövedelem); stb.
Azt a számot, amely megmutatja, hogy megfigyeléseinkből hány esetbenvagy hány százalékban szerepel az adott adat, a megfigyelés tapasztalt,illetve relatív gyakoriságának nevezzük. Jelölései: fi vagy gi ahol i=1…n(természetes szám).
A megfigyelések (adatok) gyakoriságát hisztogramon és gyakoriságieloszlás diagramon ábrázolhatjuk.
Alapvető fogalmakbevezetése
Gyakorisági eloszlás (Frequency distribution)
Tapasztalati adatok, megfigyelések (egyvalószínűségi változó realizálódott értékei)meghatározott szempont szerint kialakítottcsoportjai gyakoriságainak összessége.
Grafikus megjelenítése a hisztogram.
Az adatok nagyság szerinti csoportosításávalkapott minden osztály fölé olyan téglalapotemelünk, melynek területe arányos amegfelelő osztályba eső adatok számávalvagy relatív gyakoriságával
A hisztogram vízszintes (x) tengelyén a mértértékek helyezkednek el, míg a függőleges (y)tengelyen az előfordulási gyakoriságok. Agyakoriságok összessége értelemszerűenazonos a minta elemszámával (N).Megadható a relatív gyakoriság is, ha a mintaelemszámához viszonyított százalékosértékeket adjuk meg az y tengelyen.
Sűrűség-függvény (Probability distribution)
A valószínűségi változó eloszlásának az a törvényszerűsége, amely szerinta valószínűségi változó az értékeit felveszi. (Relatív gyakoriságbólszármaztatott 0 és 1 közé eső érték.)
Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye olyan függvény, amelynek xtengelyén a mért adatok, y tengelyén pedig a relatív kumulált gyakoriságjelenik meg és kifejezi annak valószínűségét, hogy legalább xi értéket veszfel a változó.
Legfontosabb eloszlások:
Diszkrét Folytonos
- egyenletes- normál
- binomiális- egyenletes
- Poisson- egyéb: gamma, exponenciális, khi-négyzet, F-eloszlás, Student-eloszlás
Alapvető fogalmakbevezetése 2.
Diszkrét, egyenletes eloszlás:
Alapvető fogalmakbevezetése 2.
Folytonos ,
normál eloszlás:
A sokféle eloszlás közül a statisztikában, illetve a biológiai éstársadalomtudományokban kiemelt jelentősége van a normáliseloszlásnak.
A normális eloszlás legtöbb statisztikai számításnak elvi előfeltétele. Anormális eloszlás a folytonos eloszlások közé tartozik, grafikonját Gauss-görbének is szokás nevezni.
A természeti jelenségek jelentős része gyakorisági megnyilvánulásaiban aGauss-görbét követi.
Normál eloszlás
A normális eloszlás jellemzője, hogy szimmetrikus, alakja harangalakú, csúcsa kerekített, és gyorsan lelapuló ágai elvileg avégtelenbe tartanak. A görbe szélessége és magassága sokfélelehet, elvileg végtelen sok normális eloszlású görbe létezhet. Agörbe szélességének és magasságának jellemzője a lapultság(kurtosis), míg a görbe szimmetriájának jellemzője a ferdeség(skewness). Az adatok mindig jelentős mértékben tömörülnek aközépértékek körül, míg a szélső értékek felé egyre kisebbgyakoriságok fordulnak elő. A görbe negatív és pozitív irányban isa végtelen felé tart.
A normál görbéneklegfontosabb jellemzője, hogyadatok 68,26 %-a aközépértéktől ± 1 szórásnyitávolságra helyezkedik el.
Középtől ± 2 szórásnyitávolságra az adatok 95,44%-a, míg ± 3 szórásnyi távolságraaz adatok 99,74%-ahelyezkedik el.
A 3 szórásnyi távolságokontúlmenő, „végtelenbe nyúló”széleken már csak az adatok0,26%-a található, amelyekakár „extrém” értékeknek istekinthetők.
Normál eloszlás
Osztóértékek (kvantilisek)
Olyan osztályköz-határokat (osztópontokat keresünk, amelyek egyenlőgyakoriságú (vagy relatív gyakoriságú) osztályokat eredményeznek. Teháta nagyság szerint sorba rendezett adatsort egyenlő nagyságú részekreosztja.
Osztóértékek
Számítása
Eredeti adatsor esetén:
1.A kvantilis sorszámának kiszámítás
ahol: n: elemszám
j: az adott kvantilisen belüli sorszám
k: az egyenlő részek száma
2.A rangsorból a sorszámhoz tartozó értékmegkeresése/becslése
Medián
A következő példában határozzuk meg a keresetek mediánját egy vállalkozásnál, ahol akeresetek rendre a következőképpen alakultak (ezer Ft):
51, 57, 53, 65, 76, 67, 87, 101, 120
adatok nagyság szerinti sorba rendezése: 51, 53, 57, 65, 67, 76, 87, 101, 120
Ez pedig azt jelenti, hogy a sorba rendezett adatainkat az 5. elem felezi, vagyis e felett ésez alatt egyaránt az adatok 50-50%-a helyezkedik el.
A medián értékének megállapítása esetén, gyakorlatilag csak le kell olvasni a megfelelősorszám melletti értéket. Nálunk tehát az 5. sorszám melletti érték a medián, ez pedig a67 ezer Ft-os kereset.
A medián nem más, mint a felező érték, amely a nagyság szerint sorrendberendezett adatokat két egyenlő nagyságú részre osztja. A negyedelő (kvartilis)értékek közül a második (Q2).
Osztályközös gyakoriságisor esetén 1.
1.az alapadatok nagyság szerinti sorba rendezése, amigyakorlatilag a csoportosítással már megtörténik,
2. a medián sorszámának meghatározása (Sj),
3. a mediánt tartalmazó osztályköz meghatározása(gyakoriságok kumulálással),
4. a medián meghatározása (nyers és becsült medián)
Osztályközös gyakorisági soresetén 2.
Ahol
•Xj0: az osztóértéket tartalmazó osztályköz alsó határa
•Sj: a kvantilis sorszáma
•Ʃfi: a kvantilist tartalmazó osztályközhöz tartozó megelőző kummuláltgyakoriság
•fj: a kvantilist tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság
•h: az osztályköz hossza, terjedelme
Osztályközös gyakoriságisor esetén 3.
Árbevétel kategóriák,millió Ft
Vállalatok száma,db
Kumulatívgyakoriság, db
- 20
30
30
21 – 40
42
72
41 – 60
54
126
61 – 80
38
164
81 – 100
23
187
Összesen
187
-
Az árbevételek alakulása egy régió nagyvállalatainál
1. medián sorszáma (Sj).
2. mediánt tartalmazó osztályközmeghatározása az osztálygyakoriságokkumulálásával (összegzésével,halmozásával).
3. medián meghatározása:
Tehát a becsült medián értéke 48,148 millió Ft.
Meg kell jegyeznünk, hogy osztályközös gyakorisági sor alapján csak becsült értéketkaptunk, függetlenül attól, hogy melyik módszert alkalmaztuk. Pontos mediánt csak akkortudunk meghatározni, ha ismerjük az eredeti adatokat.
15
Osztóértékek-Kvartilisek (negyedelők) 1.
A nagyság szerint sorba rendezett adatsort négy egyenlő részre osztja.
Fajtái: alsó (első), középső (medián), felső (harmadik) negyedelő
Eredeti adatsor alapján (N=páratlan)
Az árbevételek (mFt) egy régió nagyvállalatainál: 47; 53; 56; 48; 54; 49; 63
1.Az adatok sorbarendezése: 47; 48; 49; 53; 54; 56; 63
2.A negyedelők sorszámának meghatározása.
3.A negyedelők értékének meghatározása.
Alsó negyedelő: A vállalkozások negyede 48 Mft-nál kevesebb, három-negyede ennél többárbevétellel rendelkezik. Középső negyedelő: A vállalkozások felének a bevétele 53 mft-nálkevesebb, illetve több. A vállalkozások negyede 56 Mft-nál több, három-negyede ennélkevesebbárbevétellel rendelkezik.
Eredeti adatsor alapján (N=páros)
Az árbevételek (mFt) egy régió nagyvállalatainál: 47; 63; 56; 48; 53; 49;
1. Az adatok sorbarendezése: 47; 48; 49; 53; 56; 63
2.A negyedelő sorszámának meghatározása.
3.A negyedelő értékének meghatározása.
47; 48; 49; 53; 56; 63;
16
Osztályközös gyakorisági sor alapján
Az árbevételek egy régió nagyvállalatainál
1.Az adatok sorbarendezése: A táblázatbanárbevétel alapján sorba vannak rendezve azadatok.
2.A negyedelők sorszámának meghatározása.
3. A negyedelőket tartalmazó osztályközökkiválasztása.
Alsó negyedelő: 21-40
Középső negyedelő: 41-60
Felső negyedelő: 61-80
4. Negyedelők becslése.
Osztóértékek-Kvartilisek(negyedelők) 2.
17
Relatív osztályközös gyakorisági soralapján
Az árbevételek egy régió nagyvállalatainál
1.Az adatok sorbarendezése: A táblázatbanárbevétel alapján sorba vannak rendezve azadatok.
2.A negyedelők sorszámának meghatározása.
3. A negyedelőket tartalmazó osztályközökkiválasztása.
Alsó negyedelő: 21-40
Középső negyedelő: 41-60
Felső negyedelő: 61-80
4. Negyedelők becslése.
Osztóértékek-Kvartilisek(negyedelők) 3.
Normál eloszlás alakjánakjellemzői
19
Az asszimetriamérőszámai
Az empírikus eloszlások két fő csoportja:Az empírikus eloszlások két fő csoportja:
- az egymóduszú (egy csúcsú ami lehet szimmetrikus és asszimetrikus) és a
- több móduszú (több csúcsú; u és m alakú) eloszlások.
Az asszimetria vizsgálatok az asszimetria meglétének, mértékének,irányának vizsgálatára összpontosítanak.
20
A szimmetrikus és azasszimetrikus eloszlások jellemzői
21
Az asszimmetria mérőszámai,alakmutatók 1.
Tömör számszerű formában jellemezik az adatsort. Megadja, hogy milyentekintetben és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlásgyakorisági görbéjéből.
Az asszimetria mérésére több mérőszámot is használhatunk, amelyek dimenziónélküli számok és szimmetria esetén a 0 értéket veszik fel:
F mutató
- bármely két szélső kvantilisre kiszámítható (pl: Decilis1-Decilis9)
- Számításának alapja az, hogy szimmetrikus eloszlásnál a medián az alsó és felsőkvartilistől egyenlő távolságra helyezkedik el.
- Az F mutató abszolút értékben vett felső korlátja 1.
22
Az asszimmetria mérőszámai,alakmutatók 2.
- két vagy több eloszlás asszimetriájának összehasonlítása
- alapja, hogy szimmetrikus eloszlásnál az átlag és a módusz egybeesik. Különbségesetén asszimetria tapasztalható.
- mértéke nagy mértékben függ a szórástól, minél nagyobb a szórás, az átlag és amódusz különbsége annál nagyobb lesz asszimetria mértéke nő.
- A mutató abszolút értékének nincs felső korlátja, de általában -1 és +1intervallumba esik, 0,5 feletti abszolút érték esetén pedig erős asszimetriát jelez.
Egy adott eloszlás asszimetriája milyen fokú:
Az F, A és a Pearson féle mutatószám
- szimmetrikus eloszlásnál 0,
- bal oldali eloszlásnál pozitív
- jobb oldali eloszlásnál pedig negatív
A különbség a mutatószámok között az, hogy az F mutató lényegesen kisebbabszolút értékkel jelzi az asszimetriát.
Pearson féle asszimetriamutatók
23
Csúcsosság, lapultságmérése
„K” mutató
-megmutatja, hogy a gyakorisági eloszlás görbéjének csúcsa mennyivel vanmagasabban vagy alacsonyabban egy egymóduszú normális eloszlásgörbéjétől.
-alapja, hogy minél csúcsosabb egy eloszlás, annál kisebb a különbség az elsőés a 9. decilis között.
-Normális eloszlás esetén a K~0,263. Amennyiben K> 0,263, akkor lapultabbaz eloszlás a vele azonos szórású normális eloszláshoz képest, míg ha K<0,263, akkor csúcsosabb az eloszlás a vele azonos szórású normáliseloszláshoz képest.
24
Az asszimetria és a csúcsosságimutatók gyakorlatialkalmazása
Az árbevételek egy régió vállalatainál
Alapadatok:
A már tanult módszerek alapján pedig a két szélsőtizedelő is meghatározható:
Asszimetria mutatók:
Jobb oldali eloszlás
Bal oldali eloszlás
Lapultabb eloszlás
25
A koncentráció mérése 1.
az a jelenség amikor a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős hányada asokaság viszonylag kevés egységére összpontosul.
Az összevetés alapja tehát a sokaságbeli részarány, illetve az értékösszegből valórészesedés,
relatív gyakoriságok (gi) és a relatív értékösszegek (Zi)
Amennyiben a gi és Zi értékek azonosak, akkor az a koncentráció hiányát jelenti(ez azonban igen ritka a gyakorlatban), ezen értékek eltérése pedig akoncentrációt jelzi.
Mérése: Lorenz görbe, Herfindahl-index, Koncentrációs arányszám
26
A koncentrációmérése 2.
A Lorenz-görbe egy egységnyi oldalú négyzetben elhelyezett speciálisvonaldiagram, amely a felfelé kumulált relatív gyakoriságok (gi’) függvényébenábrázolja a felfelé kumulált relatív értékösszegeket (Zi’).
Ha koncentráció nem mérhető,
akkor a görbe egybeesik az origóból induló átlóval.
Minél erőteljesebb koncentráció figyelhető meg az adott sokaságban, a görbe annáltávolabb esik az átlótól, de mindig az átló alatt helyezkedik el
gi’(%)
zi’(%)
Koncentrációs terület
Koncentrációs terület aránya-koncentrációs együttható
27
A koncentrációmérése 3.
Herfindahl-index:
- Az index 1/N és 1 határok között mozogva méri a koncentráció fokát.
- Amikor minden egyes gyakoriság megegyezik akkor HI=1/N, azaz a koncentrációteljes hiányáról beszélünk, a lehető legteljesebb koncentráció esetén pedig HI=1.
- A másik számítási mód a relatív szórást veszi figyelembe, amely azt jelenti, hogyez a mutató a koncentrációt abszolút és relatív formában is figyelembe veszi.
Koncentrációs-arányszám (CR):
- Megmutatja, hogy a sokaság néhány egysége hogyan részesül a teljesértékösszegből.
- A mutatószám általában a 3-5 legnagyobb relatív gyakoriság összegét veszifigyelembe, nagyobb adatbázisnál pedig az első 3-20 egység figyelembevétele ajellemző.
28
A koncentráció mérésénekgyakorlati alkalmazása
Az árbevételek egy régió vállalatainál
A vállalatok 61,5%-a (28,88+20,32+12,30)rendelkezik az összes regionális árbevétel 23%-ával
Közepes mértékűkoncentráció
Kis mértékű koncentráció
